[그래프] - 신장트리, 크루스칼 알고리즘

🕹️ - 신장 트리

하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프

 

신장트리 예시

 

1이 연결 되어 있지 않기 때문에 신장 트리가 아니다

 

 

🕹️ - 크루스칼 알고리즘

가능한 한 최소한의 비용으로 신장 트리를 찾아야 할 때 필요한 알고리즘이다. 그리디 알고리즘으로 분류되고
기본적으로 모든 간선에 대하여 정렬을 수행한 뒤에 가장 거리가 짧은 간선부터 집합에 포함시키면 된다.
이때 사이클을 발생 시킬 수 있는 간선의 경우, 집합에 포함 시키지 않는다.

1.  간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다.
2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인한다.
   - 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킨다.
   - 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다.
3. 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복한다.

 

 

1️⃣  - 그래프의 모든 간선 정보만 따로 빼내어 정렬을 수행한다.

 

2️⃣ - 가장 짧은 간선을 선택하고, 짧은 간선의 노드 3,4에 대하여 UNION 함수를 수행한다.

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   - 사이클이 나올 때까지 반복한다.

 

3️⃣ - 그 다음 작은 간선을 선택하는데 6과 7의 루트가 이미 동일한 집합에 속해 있으므로 UNION함수를 호출 하지 않는다.

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    - 반복적으로 작은 간선들을 선택한다.

4️⃣ -  결과적으로 이렇게 최소 신장 트리를 찾을 수 있다. 연결된 모든 간선들을 더하면 최솟값이 된다.

 

 

 

 

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🔖 - 크루스칼 알고리즘을 파이썬으로 구현

from sys import stdin as s

s = open('input.txt','rt')


# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent,x):
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent,a,b):
    a = find_parent(parent,a)
    b = find_parent(parent,b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b


# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = list(map(int,s.readline().split()))
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화 

# 모든 간선을 담을 리스트와 최종 비요을 담을 변수
edges = []
result = 0

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
    parent[i] = i


for _ in range(e):
    a, b, cost = map(int, s.readline().split())
    edges.append((cost,a,b))


edges.sort()

# 간선을 하나씩 확인하며   
for edge in edges:
    cost, a, b = edge
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 퐇마
    if find_parent(parent, a ) != find_parent(parent,b):
        union_parent(parent,a,b)
        result += cost

print(result)