[그래프] - 위상 정렬

🗒️  위상 정렬이란?

 위상정렬이란 방향 그래프의 모든 노드를 '방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것'

이해하기 쉽게 예를 들자면 위상 정렬을 수행하게 되는 예시로는 여러 게임들의 직업 시스템을 들 수 있다.

예를 들어 직업 시스템에는 '모험가'로 시작해서 '마법사'가 될 수 있다. 이때 '모험가' 및 '마법사'를 각각의 노드로 표현하고,

'모험가'에서 '마법사'로 이어질 수 있도록 방향성을 갖는 간선을 그린다. 

 

그래프에서 선후 관계가 있다면, 위상 정렬을 수행하여 모든 선후 관계를 지키는 전체 순서를 계산할 수 있다.

다시 예를 들면 직업의 단계가, '마법사'가 되기 위해선 '모험가'여야 하고, '대마법사'가 되기 위해서는 '마법사'여야 한다고 가정하자.

 

 

이 경우에서 '대마법사'가 되기 위해서는 모험가 -> 마법사 -> 대마법사 순서로 전직을 해야한다.

 

 

위상 정렬 알고리즘은 다음과 같다.

1. 진입차수가 0인 노드를 큐에 넣는다.
2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
   1. 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거한다.
   2. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.

 

초기 단계 - 노드가 진입차수가 0인 1을 큐에 넣는다.

 

 

1을 큐에서 빼고 연결된 간선들을 제거하면 2,5의 진입차수가 0이 된다.

 

반복적으로 하면 이런식으로 된다.

 

 

📔 - 위 과정을 수행하는 동안 큐에서 빠져나간 노드를 순서대로 출력하면, 그것이 바로 위상 정렬을 수행한 결과가 된다.

 

한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우가 있다면, 여러가지의 답이 존재하게 된다.

 

예를들면 위의 예시에서는 1 - 2 - 5 - 3 - 6 - 4 - 7과 1 - 5 - 2 - 3 - 6 - 4 - 7 이 될 수 있다.

 

 

 

🚀 - python 코드

 

from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v+1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트(그래프) 초기화

graph = [[] for i in range(v + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
    # 진입차수를 1 증가
    indegree[b] += 1


# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용

    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v + 1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)

    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        # 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)

    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in result:
        print(i, end= ' ')




topology_sort()